Matéria - Equações

 Noção de equação

A Ana comprou um ramo com 3 rosas e recebeu de troco 4 euros. O João comprou um ramo 4 rosas e recebeu de troco 2 euros. 

Sabendo que os dois pagaram os ramos com a mesma quantidade de dinheiro, qual é o custo, em euros, de cada rosa?

Podemos traduzir este problema da seguinte forma:

3 ✖custo de cada rosa + 4 euros = 4 ✖custo de cada rosa + 2 euros

Mas, usando uma letra qualquer, por exemplo r, para representar o custo de cada rosa, o problema pode ser traduzido, em linguagem simbólica da matemática por, 

                                                                3 r + 4 = 4 r + 2

A esta condição chama-se equação.

Equação é uma igualdade entre duas expressões que envolve pelo menos uma letra a representar um valor desconhecido. 

          A letra que aparece na equação representa um valor desconhecido e designa-se por incógnita.  

          De cada lado do sinal  = estão os membros da equação.  

• o 1º membro à esquerda do sinal =
• o 2º membro à direita do sinal = 

        Cada membro é composto por termos. Os termos sem incógnita designam-se por termos                        independentes.  

        

Solução de equação

       Retomando o problema inicial, queremos saber o custo de cada rosa. 

       Observemos o seguinte esquema:

        Assim, verificamos que cada rosa custa 2 euros. 

        Dizemos que 2 é solução ou raiz, em Q, da equação 3 r + 4 = 4 r + 2, porque substituindo r por 2,          obtemos uma igualdade verdadeira. 

        O conjunto das soluções de uma equação é designado por conjunto - solução da equação. Simbolicamente, representa-se por S ou C. S.. 

        Neste caso, S = { 2 }

Classificação de equações

    

        Exemplo 1:

        Consideremos, em Q, a equação x - 5 = - 3.

        O número 2 é solução desta equação, pois 2 - 5 = - 3. É a única solução da equação.

                                                            

                                                                                S = { 2 }

        A equação tem uma única solução. Diz-se que a equação é possível e determinada. 

                    

        Exemplo 2:

        Qual é o conjunto - solução em Q, da equação 3x = 3x?

        Otriplo de um número racional é sempre igual ao triplo desse número. Logo, qualquer número                racional que consideremos é solução da equação. 

        

        Por exemplo, 3 ✖ 0,5 = 3 ✖ 0,5 e 3 ✖ 2 = 3 ✖ 2

        O conjunto- solução desta equação é Q. A equação tem um número infinito de soluções Dizemos            que a equação é possível e indeterminada. 

                    

        Exemplo 3:

        Consideremos, em Q, a equação x + 1 = x + 2.

        Como não existe nenhum número racional cuja soma com1 é igual à sua soma com 2, esta equação         não tem solução. 

                                                                               S = {  }

      

         Trata-se de uma equação impossível.

                As equações podem classificar-se do seguinte modo. 

Equações Equivalentes

          3 é solução da equação x + 2 = 5 

                                                                3 + 2 = 5

          

          3 também é solução da equação ⅓ ✖ 3 = 1 

          De facto o conjunto - solução das duas equações é 3.

          Como têm o mesmo conjunto - solução, estas duas equações dizem-se equivalentes.

          Simbolicamente:

        Chamam-se equações equivalentes às equações que têm o mesmo conjunto - solução.